L’arco in muratura – Definizioni, evoluzione e metodi

Definizioni generali

L’arco in muratura rappresenta un elemento costruttivo tipico dei sistemi di copertura più utilizzati in passato, sia per il loro aspetto dal punto di vista estetico-architettonico e sia per la loro capacità statica.

Generalmente la sua è forma semicircolare, suddiviso in blocchi di pietra (conci) ed è in grado  di sostenere i carichi sovrastanti determinando al suo interno sollecitazioni di compressione tra i conci, risultando un elemento interamente o parzialmente compresso.

Nomenclatura dell’arco in muratura

I conci sono in equilibrio grazie al “mutuo contrasto”, trasmettendosi a vicenda i pesi propri e quelli dei relativi sovraccarichi.

Il concio centrale in sommità dell’arco, detto “chiave di volta”, fa sì che il percorso degli sforzi di compressione segua, approssimativamente, l’andamento geometrico della struttura. Tali sforzi culminano sui piedritti, ovvero gli elementi presenti sul piano di imposta.

Esistono diverse tipologie di arco che variano a seconda del rapporto fra freccia e luce.

Tipologie di archi

Cenni sull’evoluzione storica dell’arco in muratura

Leonardo da Vinci

fu il primo a interpretare il comportamento dell’arco in muratura, introducendo regole geometriche riguardati la stabilità, definendo ogni singolo concio e le relative azioni. Introdussi il meccanismo di collasso per un arco semicircolare sotto determinate condizioni di carico.

“l’arco non si romperà se la corda dell’archi di fori non toccherà l’arco di dentro”

Inoltre formulò una delle più belle ed eleganti definizioni di arco:

“Arco non è altro che una fortezza causata da due debolezze, imperocché l’arco negli edici è composto da due quarti di circulo, i quali quarti circuli ciascuno debolissimo per sé desidera cadere e opponendosi alla ruina l’uno dell’altro, le due debolezze si convertono in una unica fortezza.”

Leonardo Da Vinci

Hooke

Introdusse il concetto di catenaria come nuova condizione di equilibrio, dunque una relazione tra una fune in equilibrio sotto determinati carichi a gravità e una medesima curva invertita all’interno di un arco rigido. Diversi matematici del tempo, come Bernoulli, HuygensLeibniz fornirono formulazioni matematiche riguardo la catenaria. Il modello della catenaria è stato poi utilizzato da Poleni per la per la verica di stabilità della cupola di San Pietro in Vaticano.

Stabilità della cupola di San Pietro, Poleni (1748)

Dalla definizione di catenaria si definisce la sua inversa, detta funicolare dei carichi (o curva delle pressioni), come la curva ideale che deve essere contenuta nelle geometria dell’arco affinché risulti stabile sotto le relative condizioni di carico.

Navier-Méry

Proposero un metodo grafico per la costruzione della curva delle pressioni. Il metodo è basato sulla modellazione di un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave, con retta d’azione orizzontale. In questo modo, noti i carichi esterni, è possibile ottenere l’andamento della curva delle pressioni.

Metodo di Méry: Costruzione grafica delle curva delle pressioni

Heyman

La teoria della plasticità viene adattata e applicata agli archi murari, per i quali, lo studio della stabilità fu introdotto da Heyman, che utilizza il metodo grafico per il tracciamento della curva delle pressioni, che ne determina il meccanismo di rottura ed il carico ultimo per il quale l’arco giunge al collasso. Heyman ha semplicato l’analisi sull’arco in muratura sulla base di tre ipotesi fondamentali dalla teoria Coulomb, note come modello di Heyman”:

  • infinita resistenza a compressione della muratura;
  • resistenza a trazione nulla;
  • impossibilità di scorrimento tra i conci (comportamento a blocchi della muratura).

Lo studio condotto da Heyman ha portato alla pubblicazione di “The stone skeleton” nel 1966. Dal manoscritto scritto si evince il “master safe theorem”, il quale afferma:

“La struttura è stabile sotto un certo carico se e solo se è possibile trovare una funicolare dei carichi interamente contenuta nella geometria della struttura.”

Heyman, The Stone Skeleton 1995

Dallo stesso scritto, si tiene presente di tre corollari di notevole interesse:

Corollario 1:

Lesioni che non alterano sostanzialmente la geometria non compromettono la stabilità.

Difatti se esiste una funicolare dei carichi interamente contenuta nella geometria della struttura, quest’ultima è ancora stabile.

Corollario 2 (Teorema dei 5 minuti):

Una struttura in muratura che appena tolte le centine sta in piedi 5 minuti, resterà in piedi per 500 anni (decadimento dei materiali).

Corollario 3:

Poiché la stabilità dipende solo dalla geometria una variazione di scala non altera le proporzioni e di conseguenza la stabilità.

Ricerca del carico ultimo: Teorema di unicità

Il metodo della ricerca del carico ultimo si basa su due fasi. Nella prima si trova staticamente il carico ultimo corrispondente alla formazione della quarta cerniera che innesca il meccanismo di collasso; nella seconda fase, si ricerca il carico ultimo con il metodo cinematico, tramite il calcolo del moltiplicatore di collasso, valore per il quale l’equilibrio non è più garantito.

Il metodo descritto prende il nome di Teorema di Unicità, che è l’unione dei due importanti teoremi derivanti dall’analisi limite della teoria plastica.

Il teorema statico è applicato mediante le condizioni di equilibrio della scienza statica, cercando, tramite il metodo grafico, una curva delle pressioni tale che, una volta che questa tocca il bordo dell’arco, si ha la formazione di una cerniera rotazionale.

Raggiunto un numero sufficiente di cerniere rotazionali, si attiva un meccanismo di rottura, pervenendo al valore del carico limite inferiore della soluzione.

Il teorema cinematico utilizza il principio dei lavori virtuali per valutare gli spostamenti e le rotazioni subite dall’arco sotto l’effetto di un carico che ne attivi il cinematismo, per il quale si trova un moltiplicatore di collasso che ne determina il valore del carico ultimo da un limite superiore della soluzione.

Il teorema di unicità è l’unione dei due teoremi prima descritti, e necessita, dunque, dell’applicazione del Teorema Statico che fornisce una stima del risultato da un limite inferiore, e rispettivamente, del Teorema Cinematico che perviene allo stesso risultato da un limite superiore. I due valori del carico ultimo convergono in un’unica soluzione, considerata accettabile se la differenza tra i due risultati presenta un errore inferiore al 5%.

Giacomo Ciurlia

Ingegnere Civile libero professionista. Laureato in Ingegneria Civile presso l'Università del Salento con il massimo dei voti. Nel percorso accademico ha maturato interesse per il settore dell'ingegneria strutturale e per i software di progettazione, calcolo e grafica. Fondatore e amministratore del blog “Ingegneria con Criterio”.